Тип 16 № 11231

$$(*) x > 0$$ Упростим числитель: $$\log_4(16x^4) = 2 + 4\log_4x$$ Сделаем замену $t = \log_4x$, тогда неравенство примет вид: $$\frac{4t + 13}{t^2 - 9} \geq -1$$

Перенесем все в левую часть: $$\frac{4t + 13 + t^2 - 9}{t^2 - 9} \geq 0 \Rightarrow \frac{t^2 + 4t + 4}{t^2 - 9} \geq 0$$ $$\frac{(t+2)^2}{(t-3)(t+3)} \geq 0$$

Решение: $$\left[\begin{aligned} &t > 3\\ &t = -2\\ &t< -3 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_4x > 3\\ &\log_4x = -2\\ &\log_4x< -3 \end{aligned}\right.$$

С учётом того, что основания логарифмов $4 > 1$ и $(*)$, получаем систему: $$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &\log_4x > \log_464\\ &\log_4x = \log_4(\tfrac{1}{16})\\ &\log_4x< \log_4(\tfrac{1}{54}) \end{aligned}\right. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &\log_4x > 3\\ &\log_4x = -2\\ &\log_4x< -3 \end{aligned}\right. \end{cases} \Leftrightarrow$$

Ответ: $x \in (0; \tfrac{1}{64}) \cup \{\tfrac{1}{16}\} \cup (64; +\infty)$