Тип 14 № 11996

Выразим $\sin^2x$ через $\cos x$: $$2\cos x + 1 - \cos^2x = 2\cos^3x$$ $$2\cos^3x + \cos^2x - 2\cos x - 1 = 0$$ Сделаем замену $t = \cos x$: $$2t^3 + t^2 - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow 2t(t^2 - 1) + t^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (t - 1)(t + 1)(2t + 1) = 0$$ $$t = -1 \quad \text{или} \quad t = 1 \quad \text{или} \quad t = -\frac{1}{2}$$ $$\cos x = -1 \quad \text{или} \quad \cos x = 1 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{1}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n, \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{9\pi}{2}; -3\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{10\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-4\pi, -3\pi, -\frac{10\pi}{3}$$

Ответ: а) $x = \pi k, \quad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n, \in \mathbb{Z} ;$ б) $-4\pi, -3\pi, -\frac{10\pi}{3}$