Тип 19 № 15734

Рассмотрим два случая:

1. Уравнение имеет 1 корень, больший $a$. ($D = 0$).

2. Уравнение имеет 2 корня, каждый из которых $> a$.

3. Найдём, при каких значениях параметра $a$ исходное уравнение имеет единственый корень: $$D = 0 \Leftrightarrow 36a^2 - 4(10a^2 - a - 4) = 0 \Leftrightarrow 36a^2 - 40a^2 + 4a + 16 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow -4a^2 + 4a + 16 = 0 \Leftrightarrow a^2 - a - 4 = 0\Leftrightarrow a = \tfrac{1}{2}(1 \pm \sqrt{17})$$ Получили 2 значения $a$, при которых исходное уравнение имеет $1$ корень $x_0 = -\frac{-6a}{2} = 3a$.

Найдём, при каких значениях $a$ единственный корень $x_0 = 3a > a$: $$3a > a \Leftrightarrow2a > 0 \Rightarrow a > 0$$ Значит, нам подходит только одно значение параметра $a = \tfrac{1}{2}(-2 + \sqrt{17})$

1. Уравнение имеет 2 корня, каждый из которых $> a$.

Рассмотрим функцию $y = f(x) = x^2 -6ax + 10a^2 - a - 4$ (график парабола ветвями вверх).

Нарисуем схему:

Запишем необходимые условия для такой конфигурации: $$\begin{cases} D > 0\\ y(a) > 0\\ x_{\text{в}} > a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 36a^2 - 4(10a^2 - a - 4) > 0\\ a^2 -6a^2 + 10a^2 - a - 4 > 0\\ 3a > a \end{cases}$$ Объединяя значение $a = \tfrac{1}{2}(1 + \sqrt{17})$ и решение данной системы, получаем ответ: $$a \in \left(1; \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right]$$

Ответ: $\left(1; \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right]$