Тип 14 № 15817

а) Преобразуем исходное уравнение в виде:

$$\sin 2x - 2\sin (-x) = 1 + \cos(-x); \quad \sin 2x + 2\sin x = 1 + \cos x; \quad 2\sin x \cos x + 2\sin x = 1 + \cos x;$$ $$2\sin x (\cos x + 1) - (1 + \cos x) = 0; \quad (\cos x + 1)(2\sin x - 1) = 0;$$

Отсюда $$\cos x = -1, \quad \text{откуда} \quad x = \pi + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z},$$ или $$\sin x = \frac{1}{2}, \quad \text{откуда} \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, корни уравнения:

$$\pi + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -\frac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

Отбираем корни:

$$-3\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6}$$

Итак, корни на отрезке: $$-3\pi; -\frac{19\pi}{6}.$$

Ответ:

а) $\pi + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{19\pi}{6};\; -3\pi$