Тип 20 № 15829

а) Пусть первое число это $N$, второе $M = 4S(N)$, а третье $L = 4S(M)$.

Может ли $N + M + L = 2025$?

Приведем пример:

$$N = 1941$$ $$M = 4 \cdot (1 + 9 + 4 + 1) = 4 \cdot 15 = 60$$ $$L = 4 \cdot (6 + 0) = 4 \cdot 6 = 24$$ $$\text{Сумма этих чисел: } 1941 + 60 + 24 = 2025.$$

Ответ: Да, может.

б) Может ли $N + M + L = 2026$?

Представим $N$ (первое число) как $1000a + 100b + 10c + d$.

Тогда $M = 4(a + b + c + d)$ и $L = 4(a + b + c + d)$, то есть:

$$N + M + L = 1000a + 100b + 10c + d + 4(a + b + c + d) + 4(4(a + b + c + d)) =$$ $$= 1000a + 100b + 10c + d + 4a + 4b + 4c + 4d + 16a + 16b + 16c + 16d =$$ $$= (1000 + 4 + 16)a + (100 + 4 + 16)b + (10 + 4 + 16)c + (1 + 4 + 16)d =$$ $$= 1020a + 120b + 30c + 21d$$

Следовательно: $$N + M + L = 1020a + 120b + 30c + 21d$$

Так как $N$, $M$, $L$ — целые, то вся сумма кратна $3$, но $2026$ на $3$ не делится.

Ответ: Нет, не может.

в) По условию $L = 4S(M) = 16 \Rightarrow S(M) = 4$.

Так как $M = 4S(N)$, нужно найти все такие $M$, у которых сумма цифр равна $4$, и которые делятся на $4$ (иначе $M \ne 4S(N)$).

Переберём подходящие $M$ и вычислим соответствующие $S(N)$:

• $M = 4 \Rightarrow S(N) = 1$
• $M = 40 \Rightarrow S(N) = 10$
• $M = 112 \Rightarrow S(N) = 28$

Теперь найдём количество четырёхзначных чисел $N$, у которых сумма цифр равна $1$, $10$ или $28$.

Случай 1: $S(N) = 1$ Единственное четырёхзначное число: $1000$.

Случай 2: $S(N) = 10$

Перебираем возможные значения первой цифры $a_1$ (она от 1 до 9, т.к. число четырёхзначное), оставшиеся $a_2 + a_3 + a_4 = 10 - a_1$.

• $a_1 = 1 \Rightarrow a_2 + a_3 + a_4 = 9$: 55 вариантов
• $a_1 = 2 \Rightarrow a_2 + a_3 + a_4 = 8$: 45 вариантов
• $a_1 = 3 \Rightarrow 7$: 36 вариантов
• $a_1 = 4 \Rightarrow 6$: 28
• $a_1 = 5 \Rightarrow 5$: 21
• $a_1 = 6 \Rightarrow 4$: 15
• $a_1 = 7 \Rightarrow 3$: 10
• $a_1 = 8 \Rightarrow 2$: 6
• $a_1 = 9 \Rightarrow 1$: 3

Сумма: $55 + 45 + 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 = 219$

Случай 3: $S(N) = 28$

Аналогично:

• $a_1 = 9 \Rightarrow a_2 + a_3 + a_4 = 19$: 45 вариантов
• $a_1 = 8 \Rightarrow 20$: 36 вариантов
• $a_1 = 7 \Rightarrow 21$: 28
• $a_1 = 6 \Rightarrow 22$: 21
• $a_1 = 5 \Rightarrow 23$: 15
• $a_1 = 4 \Rightarrow 24$: 10
• $a_1 = 3 \Rightarrow 25$: 6
• $a_1 = 2 \Rightarrow 26$: 3
• $a_1 = 1 \Rightarrow 27$: 1

Сумма: $45 + 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 165$

Итоговое количество подходящих четырёхзначных чисел: $$1 + 219 + 165 = \boxed{385}$$

Ответ: а) да;
б) нет;
в) $385$