Тип 18 № 18635

a) Точки $M$ и $N$ лежат на окружности диаметром $BC$, поэтому $\angle AMN=\angle CMN=\angle ABC$. Значит, треугольники $AMN$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $$\frac{AN}{AC}=\cos\angle NAC=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}.$$ Следовательно, радиус окружности, описанной около треугольника $AMN$, равен $$\frac{AO}{2}.$$

Точки $M$ и $N$ лежат на окружности диаметром $AN$, поэтому $AH=AO$.

1. Пусть прямые $АН$ и $ВС$ пересекаются в точке $К$, а точка $L$ — середина стороны $AC$, тогда

$\angle АКВ = 90^\circ,\ \angle AOL = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{2}\cdot 2\angle ABC = 45^\circ$.

Значит, $\angle AOL = 90^\circ-\angle OAL = 45^\circ;\ \angle BAK = 90^\circ-\angle ABC = 45^\circ;$

$\angle OAH = 180^\circ-\angle OAK = 180^\circ-(\angle BAC-\angle BAK-\angle OAL)=150^\circ$.

Площадь треугольника $AHO$ равна

$$\frac{AO\cdot AH\cdot \sin\angle OAH}{2} =\frac{AO^2\cdot \sin150^\circ}{2} =\frac{BC^2\cdot \sin150^\circ}{8\sin^2 120^\circ} =\frac{5}{4}.$$

Ответ: б) $\frac{5}{4}.$