Тип 23 № 20694

Решение

Пусть $S$ – сумма, которую изначально взяли в кредит, $x$ – сумма ежегодной выплаты, $(1+0,25) = 1,25$ – коэффициент ежегодного увеличения долга. Составим таблицу движения денежных средств:

По условию кредит планируется выплатить за 3 года, значит:

$$((S\cdot 1,25-x)\cdot 1,25-x)\cdot 1,25-x=0$$

Общая сумма выплат составит $3\cdot x$, что по условию на $65 500$ рублей больше суммы, взятой в кредит ($S$), то есть:

$$3x-S=65500$$

Для нахождения суммы кредита $S$ решим систему уравнений: $$\begin{cases} ((S\cdot 1{,}25-x)\cdot 1{,}25-x)\cdot 1{,}25-x=0 \\[1.2em] 3x=S+65500 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left(\left(S\cdot\dfrac{5}{4}-x\right)\cdot\dfrac{5}{4}-x\right)\cdot\dfrac{5}{4}-x=0 \\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} \left(S\cdot\dfrac{25}{16}-\dfrac{5}{4}x-x\right)\cdot\dfrac{5}{4}-x=0 \\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left(S\cdot\dfrac{25}{16}-\dfrac{9}{4}x\right)\cdot\dfrac{5}{4}-x=0 \\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} S\cdot\dfrac{125}{64}-\dfrac{45}{16}x-x=0 \\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} S\cdot\dfrac{125}{64}-\dfrac{61}{16}x=0 \\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} S\cdot\dfrac{125}{64}-\dfrac{61}{16}x=0 \\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 125S=244x \\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 125S=244\cdot\dfrac{S+65500}{3} \\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} 375S-244S=244\cdot 65500 \\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 131S=244\cdot 131\cdot 500 \\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} S=122000 \\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{cases}$$ Таким образом, сумма планируемого кредита $S$ составит 122 000 рублей.

Ответ: 122000.