Тип 16 № 20821

Решение:

Сделаем замену $3^x = t > 0$, $t \neq 36$. Тогда неравенство примет вид: $$t + \frac{243}{t - 36} \geq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{t(t - 36) + 243}{t - 36} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 36t + 243}{t - 36} \geq 0$$ Разложим числитель на множители: $$\frac{(t - 27)(t - 9)}{t - 36} \geq 0$$

Учитывая, что $t = 3^x > 0$, решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &9 \leq t \leq 27 \\ &t > 36 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &9 \leq 3^x \leq 27 \\ &3^x > 36 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &2 \leq x \leq 3 \\ &x > \log_3 36 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in [2; 3] \cup (\log_3 36; +\infty)$