Тип 14 № 20826

Решение.

а) Используем нечётность синуса, чётность косинуса, формулу синуса двойного угла и разложим на множители: $$\begin{aligned} 4\sin x\cos x-2\sin x-2\cos x+1 &=2\sin x(2\cos x-1)-(2\cos x-1)\\ &=(2\cos x-1)(2\sin x-1). \end{aligned}$$

Следовательно, уравнение равносильно совокупности:

$$\left[ \begin{aligned} \cos x&=\frac12,\\ \sin x&=\frac12 \end{aligned} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{aligned} x&=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\\ x&=-\frac{\pi}{3}+2\pi k,\\ x&=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\\ x&=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, \end{aligned} \right. \qquad k\in\mathbb Z.$$

б) Отберём корни при помощи единичной окружности (см. рис.).

Подходят числа

$$\frac{17\pi}{6} \quad\text{и}\quad \frac{11\pi}{3}.$$

$$\text{Ответ: а) } \left\{-\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ \frac{\pi}{6}+2\pi k,\ \frac{\pi}{3}+2\pi k,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\right\}; \quad \text{б) } \frac{17\pi}{6},\ \frac{11\pi}{3}.$$