Тип 19 № 20846

Решение. Преобразуем уравнение: $$\begin{aligned} &\left(1-(x+2a+1)^2\right)^3 -\left(1-(x+2a+1)^2\right)^2 = 3^{3|x-2a|}-3^{2|x-2a|} \\ &\Longleftrightarrow \left(1-(x+2a+1)^2\right)^2 \left(1-(x+2a+1)^2-1\right) \\ &\hspace{7cm} = 3^{2|x-2a|} \left(3^{|x-2a|}-1\right) \\ &\Longleftrightarrow \underbrace{ 3^{2|x-2a|} \left(3^{|x-2a|}-1\right) }_{\text{неотрицательно}} + \underbrace{ \left(1-(x+2a+1)^2\right)^2(x+2a+1)^2 }_{\text{неотрицательно}} =0. \end{aligned}$$

В силу справедливости неравенства

$$3^{|t|}\geq 3^0=1$$ заключаем, что каждое из полученных в левой части уравнения слагаемых неотрицательно.

Поэтому их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю:

$$\begin{cases} 3^{2|x-2a|} \left(3^{|x-2a|}-1\right)=0,\\ \left(1-(x+2a+1)^2\right)^2(x+2a+1)^2=0. \end{cases}$$

Следовательно,

$$\begin{cases} 3^{|x-2a|}=1,\\ \left[ \begin{aligned} (x+2a+1)^2&=1,\\ x+2a+1&=0 \end{aligned} \right. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} x=2a,\\ \left[ \begin{aligned} x&=-2a,\\ x&=-2a-2,\\ x&=-2a-1. \end{aligned} \right. \end{cases}$$

Полученная система имеет решения, если

$$\left[ \begin{aligned} 2a&=-2a,\\ 2a&=-2a-1,\\ 2a&=-2a-2. \end{aligned} \right.$$

Решим полученные уравнения:

$$\left[ \begin{aligned} a&=0,\\ a&=-\frac14,\\ a&=-\frac12. \end{aligned} \right.$$

$$\text{Ответ: } \left\{-\frac12,\ -\frac14,\ 0\right\}.$$