Тип 15 № 22743

Решение:

а)

Треугольники $A_1C_1M$ и $BCM$ равны по двум катетам.

Следовательно, их гипотенузы равны: $A_1M = BM$. Значит, в треугольнике $A_1MB$ две стороны равны, поэтому он является равнобедренным.

б)

Обозначим через $O$ середину стороны $A_1B$, а также пусть $CC_1 = 2x$. Тогда в прямоугольном треугольнике $A_1B_1B$ по теореме Пифагора:

$$A_1B = \sqrt{(BB_1)^2 + (A_1B_1)^2} = \sqrt{(2x)^2 + 4^2} = 2\sqrt{x^2 + 4},$$

следовательно, $A_1O = \dfrac{A_1B}{2} = \sqrt{x^2 + 4}$.

В равнобедренном треугольнике $ A_1MB $ высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому $MO \perp A_1B$. Длину $MO$ найдём из прямоугольных треугольников $A_1MO $ и $ A_1C_1M$:

$$MO = \sqrt{A_1M^2 - A_1O^2}.$$

Так как $A_1M^2 = A_1C_1^2 + C_1M^2 = 4^2 + x^2$ и $A_1O^2 = x^2 + 4$, получаем:

$$MO = \sqrt{(4^2 + x^2) - (x^2 + 4)} = 2\sqrt{3}.$$

Площадь треугольника $A_1MB$ можно выразить двумя способами:

$$S_{A_1MB} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot A_1B = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{x^2 + 4} = 2\sqrt{3}\sqrt{x^2 + 4}.$$

По условию площадь равна $18$, значит:

$$2\sqrt{3}\sqrt{x^2 + 4} = 18 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x^2 + 4} = 3\sqrt3\quad\Rightarrow\quad x^2 + 4 = 27 \Leftrightarrow x = \pm\sqrt{23}$$

Так как $x > 0$, получаем $x = \sqrt{23}$. Следовательно, высота призмы $CC_1 = 2x = 2\sqrt{23}$.

Ответ: б) $2\sqrt{23}$.