Тип 14 № 22761

Решение:

Преобразуем уравнение, используя формулы приведения и синуса двойного угла: $$2\sin ^2 x +\sqrt2(-\sin x) + \sqrt3 \cdot 2\sin x \cos x = \sqrt6\cos x$$ $$2\sin ^2 x -\sqrt2\sin x + 2\sqrt3\sin x \cos x - \sqrt6\cos x = 0$$

Сгруппируем слагаемые: $$(2\sin ^2 x -\sqrt2\sin x) + (2\sqrt3\sin x \cos x - \sqrt6\cos x) = 0$$ $$\sin x(2\sin x - \sqrt2) + \sqrt3\cos x(2\sin x - \sqrt2) = 0$$ $$(2\sin x - \sqrt2)(\sin x + \sqrt3\cos x) = 0$$

Решаем уравнение: $$2\sin x - \sqrt2 = 0 \quad \text{или} \quad \sin x + \sqrt3\cos x = 0$$ $$\sin x = \frac{\sqrt2}{2} \quad \text{или} \quad \sin x = -\sqrt3\cos x$$

Для второго уравнения: $\cos x \neq 0$, разделим на $\cos x$: $$\tg x = -\sqrt3$$ $$x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in Z$$

Для первого уравнения: $$\sin x = \frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in Z$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{3} + 0\cdot\pi = -\frac{\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{3} + 1\cdot\pi = \frac{2\pi}{3} \notin \left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]$$ $$\frac{\pi}{4} + 0\cdot2\pi = \frac{\pi}{4}$$ $$\frac{3\pi}{4} + 0\cdot2\pi = \frac{3\pi}{4} \notin \left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]$$ $$\frac{\pi}{4} - 1\cdot2\pi = -\frac{7\pi}{4} \notin \left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{4}$$

Ответ:

а) $-\frac{\pi}{3} + \pi k;\ \frac{\pi}{4} + 2\pi k;\ \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in Z;$

б)$-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{4}$