Тип 13 № 22763

Решение:

Для того чтобы прибыль за 4 года была не менее 100 млн. руб., необходимо выполнение условия:

$$4(px - 0,5x^2 -x - 7) \geq 100 \Leftrightarrow px -0,5x^2 -x - 7 \geq 25 \Leftrightarrow-0,5x^2 +x(p - 1) -32 \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 0,5x^2 - x(p - 1) + 32 \leq 0$$

Левая часть неравенства задаёт параболу с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение будет находиться в вершине параболы.

$$x_0 = \frac{(p-1)}{1} = p-1$$

Отсюда следует, что завод будет продавать продукцию по цене $p = x_0 + 1$, а кол-во составит $x_0$.

Наименьшему значению $x_0$ будет соответствовать наименьшее значение $p$, так как зависимость линейная.

Подставим значение $p$ в неравенство и проверим при каком наименьшим $x$ оно будет выполняться:

$$0,5(x_0)^2 - (x_0)^2 + 32 \leq 0$$ $$(x_0)^2 - 64 \geq 0 \geq 0 \Leftrightarrow (x_0 - 8)(x_0 + 8) \geq 0$$ $$x_0 \in (-\infty; -8] \cup [8; +\infty)$$

Наименьшее неотрицательное значение $x_0$, при котором неравенство выполняется: $x_0 = 8$.

Тогда $p = 8 + 1 = 9$

Ответ: 9