Тип 19 № 22860

Решение:

Сделаем замену $t = |x- a - 2| + |x - a + 2|$.

$$t^2 -at + a^2 - 64 = 0$$

Построим график зависимости $t$ от $x$ и проанализируем его. Для этого последовательно раскроем модули.

$$\begin{cases} t = -2x + 2a, \text{ при }x \leq a - 2\\ t = 4, \text{ при } a - 2 < x < a + 2\\ t = 2x - 2a, \text{ при } x \geq a + 2 \\ \end{cases}$$

Строим график:

Заметим, что при:

1. $t < 4$ исходное уравнение не будет иметь решений.

2. $t = 4$ исходное уравнение будет иметь бесконечно много решений.

3. $t > 4$ исходное уравнение будет иметь 2 решения для каждого такого значения $t$.

Исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения, если:

a) Квадратное уравнение $t^2 -at + a^2 - 64 = 0$ имеет ровно 1 корень, больший $4$.

б) Квадратное уравнение $t^2 -at + a^2 - 64 = 0$ будет иметь 2 различных корня, один из которых строго больше $4$, а второй строго меньше $4$.

Последовательно рассмотрим данные случаи:

а) Зададим необходимые условия и составим систему: $$\begin{cases} D = 0\\ t_{0} > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 - 4a^2+ 256 = 0\\ \tfrac{a}{2} > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a^2 - 256 = 0\\ a > 4 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} a = \pm\frac{16\sqrt3}{3}\\ a > 4 \end{cases} \Leftrightarrow a = \frac{16\sqrt3}{3}$$

б) Графиком квадратичной функции $t^2 -at + a^2 - 64$ является парабола с ветями, направленными вверх. Для того чтобы корни уравнения $t^2 - at + a^2 - 64 = 0$ находились по разные стороны от точки $t = 2$ необходимо, чтобы значение функции в этой точке было строго отрицательным: $$f(t) = t^2 + at + a^2 - 48$$

$$f(4) < 0 \Leftrightarrow 16 -4a + a^2 - 64 < 0 \Leftrightarrow a^2 -4a - 48 < 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} a < 2 + 2\sqrt{13}\\ a > 2 - 2\sqrt{13} \end{cases}$$

Объединяя полученные значения, получаем:

$$(2 - 2\sqrt{13}; 2 + 2\sqrt{13}) \cup \left\{\frac{16\sqrt3}{3}\right\}$$

Ответ: $(2 - 2\sqrt{13}; 2 + 2\sqrt{13}) \cup \left\{\frac{16\sqrt3}{3}\right\}$